2021年度 岡山大学理系数学 解説

岡山大学理系数学2021解説 その他

大問1

岡山大学理系数学2021年度大問1

(1)

(1)は三倍角の公式を使ってsinだけの式を作ると解けそうですね

三倍角の公式は覚えていますか?

三倍角の公式

\(sin3θ=3sinθ-4sin^3θ \)

\(cos3θ=4cos^3θ-3cosθ \)

今回は\(\displaystyle sin3θ\)に三倍角の公式を適用します。

\begin{eqnarray} sin3x &=& -sinx \\ 3sinx-4sin^3x &=& -sinx \\ 4sin^3x-4sinx &=& 0 \\ sinx(sin^2x-1) &=& 0 \\ sinxcos^2x &=& 0 \end{eqnarray}

\(\displaystyle sinxcos^2x=0\)となるには、\(\displaystyle sinx=0\)または \(\displaystyle cos^2x =0\)を満たすxを考えればいいことが分かります。

\(\displaystyle 0≦x≦2π\)の範囲でこれを満たすのは、\(\displaystyle x=0、\frac{π}{2}、π、\frac{3π}{2}、2π\)ですね。

答え:\(\displaystyle x=0、\frac{π}{2}、π、\frac{3π}{2}、2π \)

ちなみに、和積の公式を使ってもできそうですね

(2)

今回も(1)と同様に3倍角の公式を使って変換していきましょう。

\begin{eqnarray} sin3x &=& sinx \\ 3sinx-4sin^3x &=& sinx \\ 4sin^3x-2sinx &=& 0 \\ sinx(2sin^2x-1) &=& 0 \end{eqnarray}

\(\displaystyle 2sin^2x-1=0\)をどうすればいいか困りますね。とりあえず、\(\displaystyle sin^2\)が鬱陶しいので変形してしみましょう。何を使えばいいかわかりますか?半角の公式です。

半角の公式

\( sin^2\frac{θ}{2}=\frac{1-cosθ}{2} \)

\( cos^2\frac{θ}{2}=\frac{1+cosθ}{2} \)

\( tan^2\frac{θ}{2}=\frac{1-cosθ}{1+cosθ} \)

今回は\(\displaystyle \frac{θ}{2}\)ではなく\(\displaystyle x\)なので、うまくあてはめて使いましょう。

\begin{eqnarray} sinx(2sin^2x-1) &=& 0 \\ sinx(2・\frac{1-cos2x}{2}-1) &=& 0 \\ sinxcos2x &=& 0 \end{eqnarray}

うまいこと\(\displaystyle -1\)も消えました。\(\displaystyle sinxcos2x=0\)を満たすxは、\(\displaystyle x=0,\frac{π}{4},\frac{3}{4}π,π,\frac{5}{4}π,\frac{7}{4}π,2π\)の7つです。数え間違えに注意しましょう。

答え: \(\displaystyle x=0,\frac{π}{4},\frac{3}{4}π,π,\frac{5}{4}π,\frac{7}{4}π,2π\)

(3)

解1

右辺のsinxの前に\(\displaystyle a\)という係数がついてしまいました。とりあえず、また3倍角の公式を使って変形してみましょう。

\begin{eqnarray} sin3x &≧& asinx \\ 3sinx-4sin^3x&≧& asinx\\ 4sin^3&≦&(3-a)sinx \end{eqnarray}

\(\displaystyle (3-a)sinx\)と変形したのには理由があります。とりあえず、\(\displaystyle sinx=t\)とおいて、3次関数の式にしてしまいましょう。

\(4t^3≦(3-a)t  (-1≦t≦1)\)

ここで、

\begin{equation}\left\{ \,\begin{aligned}& y = 4t^3 \\& y = (3-a)t \\\end{aligned}\right.\end{equation}

を考えます。\(\displaystyle 2≦3-a≦4\)であることに注意してグラフを書いてみると

岡山大学理系数学2021年度大問1

こんな感じになります。\(\displaystyle a\)の値を動かすと\(\displaystyle y=(3-a)t\)は青の範囲で動きます。この中で、\(\displaystyle -1≦t≦1\)の範囲で\(\displaystyle 4t^3≦(3-a)t\)となるのは、図の赤色の部分ですね。

交点の座標が知りたいので、\(\displaystyle y=4t^3とy=2t\)を解くと

\begin{eqnarray} 4t^3 &=& 2t \\ 2t(2t^2-1)&=& 0 \\ t &=&0,±\frac{1}{\sqrt{2}} \end{eqnarray}

となります。すなわち、\(\displaystyle sinx=-1、0≦sinx≦\frac{1}{\sqrt{2}}\)となるxを求めればよいのですね。

答え:\(\displaystyle 0≦x≦\frac{π}{4},\frac{3}{4}π≦x≦π,\frac{3}{2}π,2π \)

解2

上の解法では強引に三倍角の公式を使って解きましたが、もっとスマートな方法があります。

\(\displaystyle y=asinxとy=sin3x\)のグラフを考えてみましょう。

岡山大学理系数学2021年度大問1

書けば一発で分かりますね。\(\displaystyle a\)の値を-1から1で動かすと、y=asinxは青の範囲で動きます。y=sin3xがy=asinxよりも上側にあるところは図のピンク色で示したところです。

答え:\(\displaystyle 0≦x≦\frac{π}{4},\frac{3}{4}π≦x≦π,\frac{3}{2}π,2π \)

大問2

岡山大学理系数学2021年度大問2

(1)

一直線上にあるための条件の式を覚えていますか?

同一直線上にあるための条件

\(\displaystyle A(α)、B(β)、C(γ)\)が同一直線状にあるための条件は

\(\displaystyle \frac{γ-α}{β-α}\)が実数、すなわち\(\displaystyle \frac{γ-α}{β-α}=\overline{\frac{γ-α}{β-α}}\)

これをあてはめましょう。

\(\displaystyle \frac{z^2-1}{z-1}=z+1\)

これが実数になればいいのですね

\begin{eqnarray} z+1 &=& \bar{z}+1 \\ z &=& \bar{z} \end{eqnarray}

\(\displaystyle z=\bar{z}\)、すなわちzが実数であればいいことがいいことが分かりました。

答え:zが実数

(2)

今度は直角ですね。私は垂直に交わる条件を覚えていなかったので、わざわざいろいろ考えました。。

岡山大学理系数学2021年度大問2
岡山大学理系数学2021年度大問2

複素数で角度は反時計回りに測ることを考えると、ABCの配置は上の二つが考えられると思います。

これを式に直してみましょう。

\begin{eqnarray} arg\frac{1-z^2}{z-z^2} &=& ±\frac{π}{2} \\ arg(\frac{z+1}{z})&=& ±\frac{π}{2} \\ arg(1+\frac{1}{z}) &=& ±\frac{π}{2} \end{eqnarray}

\(\displaystyle arg(1+\frac{1}{z})= ±\frac{π}{2} \)とはどういうことでしょうか?これは、\(\displaystyle 1+\frac{1}{z} \)が純虚数ということですね。すなわち、\(\displaystyle 1+\frac{1}{z} =-\overline{ (1+\frac{1}{z} )}\)を解けばいいということですね。

\begin{eqnarray} 1+\frac{1}{z} &=& -\overline{1+\frac{1}{z} } \\ z\bar{z} + \frac{1}{2}z + \frac{1}{2} \bar{z} &=& 0 \\ (z+\frac{1}{2} )(\bar{z}+ \frac{1}{2}) &=& \frac{1}{4} \\ |z+ \frac{1}{2} |^2 &=& \frac{1}{4} \\ |z+ \frac{1}{2} | &=& \frac{1}{2} \end{eqnarray}

これは、中心\(\displaystyle -\frac{1}{2}\) 、半径 \(\displaystyle \frac{1}{2} \)の円を表しています。\(\displaystyle z≠0、±1\)に注意して作図しましょう。

答え

岡山大学理系数学2021年度大問2

白丸を除く

(3)

(2)と同じことをもうあと二回すればできそうですね

Aが直角三角形の頂点になるとき

\begin{eqnarray} \frac{z^2-1}{z-1} &=& z+1 \end{eqnarray}

これが純虚数になればいいので

\begin{eqnarray} z+1 &=& -(\overline{z+1}) \\ z+\bar{z} &=& -2 \end{eqnarray}

z=x+yiとおくと、

\begin{eqnarray} z+\bar{z} &=& -2 \\ 2x &=& -2 \\ x &=& -1 \end{eqnarray}

\(\displaystyle x=-1\)が得られました。

Bが直角三角形の頂点になるとき

\begin{eqnarray} \frac{z^2-z}{1-z} &=& -z \end{eqnarray}

これが純虚数になればいいので

\begin{eqnarray} -z &=& -\overline{(-z)} \\ z &=& -\overline{(-z)} \end{eqnarray}

つまり、\(\displaystyle z\)が純虚数の範囲

\(\displaystyle zが純虚数の範囲\)でBが直角三角形の頂点になることが分かりました。

これに、(2)のCの結果を合わせてグラフを書けばいい!とするのは少し甘いです。

(1)のA,B,Cが一直線上に並ぶ条件、つまり三角形が成立しない条件(zが実数)を省かなければなりません。

岡大数学を解くときは、誘導にしっかりのりましょう。

答え:

岡山大学理系数学2021年度大問2

白丸を除く

大問3

岡山大学理系数学2021年度大問3

(1)

余りの問題は、\(\displaystyle mod\)を使うとやりやすいです。順当に\(\displaystyle n \)を6で割った余りが±3、±2、±1、0の場合について考えましょう。

6を法として、余りが

±3の時、\(\displaystyle n^3≡±27≡±3\)

±2の時、\(\displaystyle n^3≡±8≡±2\)

±1の時、\(\displaystyle n^3≡±1≡1\)

0の時、\(\displaystyle n^3≡0\)

以上より、\(\displaystyle n\)を6で割ったあまりと\(\displaystyle n^3\)を6で割ったあまりは等しい

(2)

このままだとどうしようもないので、少し式を変形して意味のある形にしたいですね。やっぱり、(三乗)+(三乗)や(三乗)-(三乗)の形を見たら因数分解してみたくなりますよね。

\begin{eqnarray} a^3+b^3+c^3 &=& (c+1)^3 \\ a^3+b^3 &=& (c+1)^3-c^3 \\ &=& c^2+c(c+1)+(c+1)^2 \\ &=& 3c^2 +3c +1 \\ &=& 3c(c+1)+1 \end{eqnarray}

\(\displaystyle c(c+1)\)は連続2整数の積なので、2の倍数

したがって、\(\displaystyle 3c(c+1)\)は6の倍数なので、\(\displaystyle 3c(c+1)+1\)を6で割ったあまりは1

\(\displaystyle a^3+b^3≡1(mod 6)\)が得られました。

ここから\(\displaystyle a+b≡1(mod 6)\)に持っていくにはどうしたらいいでしょうか?見えましたね。(1)の結果を使います。

(1)より、\(\displaystyle a^3≡a、b^3≡b\)なので、\(\displaystyle a^3+b^3≡a+b≡1(mod 6)\)

(3)

ぜひとも(2)の結果を使いたいですね。

条件より、\(\displaystyle 2≦a+b≦20\)

この範囲で6で割ったあまりが1になるのは、\(\displaystyle a+b=7,13,19\)

このままだと\(\displaystyle a+b\)の組み合わせが膨大にあるので、もう少し条件を絞りたいですね。自分が書いた式を上から見ていって使えるものがないか探しましょう。cの最大値が10であることを利用します。

\begin{eqnarray} a^3+b^3 &=& 3c(c+1)+1≦331 \\ 7^3 =343 &≧& 331 より、\\ b &≦& 6 \end{eqnarray}

以上より、\(\displaystyle (a,b)={(1,6),(2,5),(3,4)}\)

a+bが13や19の時はbが7以上になるので不可です。計算が面倒になりそうなので、事前に\(\displaystyle a^3+b^3=3c(c+1)+1\)を変形して\(\displaystyle c(c+1)=\frac{a^3+b^3-1}{3}…★\)を用意しておきます。

\(\displaystyle (a,b)=(1,6)\)の時、★より

\begin{eqnarray} c(c+1) &=& \frac{1+216-1}{3} \\ &=& 72\end{eqnarray}

これを満たすcは\(\displaystyle c=8(b≦c≦10)を満たす\)

\(\displaystyle (a,b)=(2,5)\)の時、★より

\begin{eqnarray} c(c+1) &=& \frac{8+125-1}{3} \\ &=& 44\end{eqnarray}

これを満たすcは存在しない

\(\displaystyle (a,b)=(3,4)\)の時、★より

\begin{eqnarray} c(c+1) &=& \frac{27+64-1}{3} \\ &=& 30\end{eqnarray}

これを満たすcは\(\displaystyle c=5(b≦c≦10)を満たす\)

答え:\(\displaystyle (a,b,c)=(1,6,8),(3,4,5) \)

大問4

岡山大学理系数学2021年度大問4

(1)

一見大変そうに見えますが、大したことない問題なので冷静に解きましょう。

\(\displaystyle f(x)=x^{2n}\)を見て何を考えますか?\(\displaystyle f(-x)=f(x)\)の形になっているのでこれは偶関数ですね。偶関数ということは、グラフがy軸に対して対称になります。となると、A,Bもy軸に対して対称な位置にあるので、円の中心はy軸上にあります。

さらに、式を\(\displaystyle f(x)={x^n}^2\)と変形すると、\(\displaystyle y=〇^2\)の形になっています。つまり、すべてのxに対して\(\displaystyle f(x)≧0 \)が成り立ちます。

これらのことを意識してグラフを書いてみましょう。

岡山大学理系数学2021年度大問4

大体こんな感じになるでしょうか?グラフから、\(\displaystyle p(t)=0、q(t)=r(t)\)が言えると思います。

\(\displaystyle q(t)\)をtを用いて表していきましょう。\(\displaystyle f(t)はf(t)=t^{2n}\)ですね。少し計算がめんどくさくなるので、\(\displaystyle q(t)とr(t)はR=q(t)=r(t)\)として、Rで書かせてください。

岡山大学理系数学2021年度大問4

青色の三角形の部分で三平方の定理を使いましょう。

\begin{eqnarray} t^2+(f(t)-R)^2=R^2 \\ t^2+t^{4n}-2t^{2n}R+R^2 &=& R^2 \\ R &=& \frac{t^2+t{4n}}{2t^{2n}} \\ R &=& \frac{1}{2}(\frac{1}{t^{2n-2}}+t^{2n}) \end{eqnarray}

\(\displaystyle \lim_{t \to +0}q(t)= \lim_{t \to +0} r(t)= \lim_{t \to +0} R\)ですが、\(\displaystyle n≧2\)の場合このまま0に飛ばすと、\(\displaystyle \frac{1}{t^{2n-2}} \)が無限大に行ってしまい収束しません。したがって、収束するとき\(\displaystyle n=1\)以外ありえません。

\(\displaystyle n=1の時、\lim_{t \to +0}R=\frac{1}{2}\)になります。ちなみに、当たり前ですが\(\displaystyle \lim_{t \to +0}p(t)= \lim_{t \to +0} 0=0\)です。

答え:\(\displaystyle \begin{equation}\left\{ \,\begin{aligned}& a = 0 \\& b = \frac{1}{2} \\& c = \frac{1}{2} \\\end{aligned}\right.\end{equation}\)

(2)

岡山大学理系数学2021年度大問4

ピンクのところをx軸回転すればいいのですね。教科書通りの問題ですね。

円の方程式\(\displaystyle x^2+(y-\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}より、y=\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1}{4}-x^2}\) 

円の下の部分だから、\(\displaystyle y=\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{1}{4}-x^2} \)

\begin{eqnarray} \frac{V}{π} &=& \int_{0}^{\frac{1}{2}}\left \{ \left ( \frac{1}{2} -\sqrt{\frac{1}{4}-x^2} \right) ^2 – (x^2)^2 \right \} dx \\ &=& \int_{0}^{\frac{1}{2}} \left ( \frac{1}{4} – \sqrt{\frac{1}{4}- x^2} + \frac{1}{4} -x^2 – x^4 \right ) dx \\ &=& \int_{0}^{\frac{1}{2}} \left( \frac{1}{2}-x^2-x^4 \right)dx-\int_{0}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1}{4}-x^2}dx \\ &=&\left[\frac{1}{2}x-\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{5}x^5\right]_0^\frac{1}{2}-\frac{π}{16} \\ &=&\frac{97}{480}-\frac{π}{16} \\ V &=& \frac{97}{480}π-\frac{π^2}{16} \end{eqnarray}

岡山大学理系数学2021年度大問4

\(\displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1}{4}-x^2}dx \)は、半径\(\displaystyle \frac{1}{2}\)の1/4円に相当するので一瞬で計算できますね。

答え:\(\displaystyle V = \frac{97}{480}π-\frac{π^2}{16} \)

コメント

タイトルとURLをコピーしました