2020年度 岡山大学理系数学 解説

岡山大学理系数学2020解説 その他

大問1

岡山大学理系数学2020大問1

(1)

岡山大学理系数学2020大問1

Aの白玉の数が変わらないのはどんな時でしょうか?

岡山大学理系数学2020大問1

①Aから白玉を取り出してBに移し、Bから白玉を取ってAに移す場合

②Aから赤玉を取り出してBに移し、Bから赤玉を取り出してAに移す場合

の二つが考えられますね。

①:\(\displaystyle \frac{2}{5}×\frac{11}{34}=\frac{11}{85}\)

②:\(\displaystyle \frac{3}{5}×\frac{24}{34}=\frac{36}{85}\)

①+②:\(\displaystyle \frac{11+36}{85}=\frac{47}{85}\)

答え:\(\displaystyle \frac{47}{85}\)

(2)

(1)で求めたpを与える\(\displaystyle x,y\)の組ってどういうことでしょうか?

とりあえず、\(\displaystyle p\)を\(\displaystyle x\)と\(\displaystyle y\)で表してみましょう。

①は、白玉を移し終わった後のBの袋の玉の合計は\(\displaystyle x+y+1\)、白玉の数は\(\displaystyle x+1\)

②は、赤玉を移し終わった後のBの袋の 玉の合計は\(\displaystyle x+y+1\)、赤玉の数は\(\displaystyle y+1\)

であることを使いましょう。

①:\(\displaystyle \frac{2}{5}×\frac{x+1}{x+y+1}\) ②: \(\displaystyle \frac{3}{5}×\frac{y+1}{x+y+1}\)

①+②:\begin{eqnarray} p &=& \frac{2}{5}×\frac{x+1}{x+y+1}\ + \frac{3}{5}×\frac{y+1}{x+y+1}\\&=&\frac{2x+3y+5}{5(x+y+1)}=\frac{47}{85} \end{eqnarray}

これを整理すると

\begin{eqnarray} 13x-4y=38 \end{eqnarray}

不定方程式の解を求める問題に変わりましたね。これくらいなら頑張って特殊解を探しましょう。

\(\displaystyle x=2,y=-3\)が特殊解の一つですね

\begin{equation}\left\{ \,\begin{aligned}& 13x-4y = 38…① \\& 13・2-4・(-3) = 38…②\\ \end{aligned}\right.\end{equation}

①-②より

\begin{eqnarray} 13(x-2)-4(y+3)&=&0 \\ 13(x-2) &=& 4(y+3) \end{eqnarray}

13と4は互いに素だから、整数\(\displaystyle k\)を用いて

\begin{equation}\left\{ \,\begin{aligned}& x-2 = 4k \\& y+3 = 13k \\\end{aligned}\right.\end{equation}

と書ける。これを整理して

\begin{equation}\left\{ \,\begin{aligned}& x = 4k+2 \\& y= 13k-3 \\\end{aligned}\right.\end{equation}

と書ける。

\(\displaystyle 1≦x≦1000\)より、\(\displaystyle 1≦4k+2≦1000\)

つまり、\(\displaystyle k=0,1,2,…,249\)…③

同様に\(\displaystyle y\)についても考えて、\(\displaystyle k=1,2,3,…,77\)…④

③と④より、\(\displaystyle k=1,2,3,…,77\)だから、77組

答え:77組

あっさりできましたね。岡大数学は大問1は簡単なことが多いので、焦らず取り切りましょう。

大問2

岡山大学理系数学2020大問2

(1)

\(\displaystyle |α-i|=1\)を使うことを考えますよね。素直に二乗してみましょう。

絶対値の二乗の仕方を覚えていますか?いつもやるような\(\displaystyle (a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)の形にならないことに注意しましょう。

複素数の絶対値の二乗

\begin{eqnarray}|z+a| &=& (z+a)\overline{(z+a)} \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} |α-i|^2 &=& (α-i)\overline{(α-i)} \\ &=& α\bar{α}+αi-\bar{α}i+1=1\\\\ α\bar{α}+αi-\bar{α}i &=&0 \end{eqnarray}

なんか微妙にうまくいきませんでしたね。そこで、問題文をもう一度見て、\(\displaystyle θ\)が与えられていることに注目しましょう。

\(\displaystyle α=r(cosθ+isinθ)(r>0)\)とおいて式変形を進めていきます。

\begin{eqnarray}α\bar{α}+αi-\bar{α}i &=&0\\r^2(cosθ+isinθ)(cosθ-isinθ)+r(cosθ+isinθ)i-r(cosθ-isinθ)i &=& 0\\r^2(cos^2θ+sin^2θ)-2rsinθ&=&0 \end{eqnarray}

\(\displaystyle r>0\)より

\begin{eqnarray} r=2sinθ\end{eqnarray}

\(\displaystyle r=|α|\)なので、\(\displaystyle |α|=2sinθ\)

答え:\(\displaystyle |α|=2sinθ \)

(2)

上で定義した \(\displaystyle α=r(cosθ+isinθ)(r>0)\) を代入して整理しましょう。

\(\displaystyle r(cosθ+isinθ) \)の形にすることがゴールです。

\begin{eqnarray} β &=& -α+2i \\ &=& -2sinθ・(cosθ+isinθ)+2i \\ &=& -2sinθcosθ+2i(1-sin^2θ) \\ &=& 2cosθ(-sinθ+icosθ) \end{eqnarray}

だいぶ \(\displaystyle r(cosθ+isinθ) \)の形に近づいてきましたね。しかし、\(\displaystyle sinθ\)と\(\displaystyle cosθ\)の位置が逆で、\(\displaystyle sinθ\)の前に\(\displaystyle -\)がついています。どうしましょうか?

\(\displaystyle θ→θ+\frac{π}{2}\)とすると、\(\displaystyle -sinθ=cos(θ+\frac{π}{2})\)、\(\displaystyle cosθ=sin(θ+\frac{π}{2})\)なのでちょうどうまいこといきますね。

\begin{eqnarray} β &=& 2cosθ(-sinθ+icosθ) \\ &=& 2cosθ\left(cos\left(θ+\frac{π}{2}\right)+isin\left( θ+\frac{π}{2}\right)\right) \end{eqnarray}

答え:\(\displaystyle argβ=θ+\frac{π}{2}\)

(3)

これを3つの複素数が一直線上にある条件の式を立てて解くのは計算が無理そうです。

なので、図形的に解きましょう。\(\displaystyle β=-α+2i\)より、\(\displaystyle β\)は\(\displaystyle α\)を減点に対して対称に移動し、そこから2i分だけ動かした場所にあります。このことを踏まえて図を描いてみましょう。

岡山大学理系数学2020大問2

こんな感じになります。どうやって解いてもらっても構わないのですが、一例を示します。

AO=CO、BC//DOより、DO=1

すると、△DOPは\(\displaystyle 1:2:\sqrt{3}\)の直角三角形になっていることが分かります。

したがって、∠ADO=\(\displaystyle \frac{π}{6}\)

岡山大学理系数学2020大問2

△ABCは二等辺三角形になっているので、AB=2、AD:DB=1:1より、AD=1

したがって、△ADOも二等辺三角形

∠AOD=\(\displaystyle \frac{π-\frac{π}{6}}{2}=\frac{5}{12}π\)

\(\displaystyle θ=\frac{π}{2}-\frac{5}{12}=\frac{π}{12}\)

答え:\(\displaystyle \frac{π}{12}\)

追記:この問題は、\(\displaystyle |α-i|=1\)が半円を描くことを念頭に置きながら解くととっても解きやすいです。後で気づきました。

大問3

岡山大学理系数学2020大問3

積分の問題ですね。

(1)

どんな図形になるか想像できますかね?

岡山大学理系数学2020大問3
岡山大学理系数学2020大問3

砂時計っぽく真ん中がくびれた形になります。(完全にくびれていないので正確には違うかもしれません。)

\(\displaystyle z=a\)で切った断面はどうなるでしょうか?

岡山大学理系数学2020大問3
岡山大学理系数学2020大問3

なんと、ひし形になります。難しいですね。

岡山大学理系数学2020大問3

真ん中の青と緑の線について真横から見てみましょう。

岡山大学理系数学2020大問3

ちょうど、緑の線は\(\displaystyle z=x\)、青の線は\(\displaystyle z=1-x\)になっていますね。

yについても同様に考えることができます。

ひし形の座標は図のようになります。

岡山大学理系数学2020大問3

原点から(1,1)までの長さは、\(\displaystyle \sqrt{2}\)

ひし形のもう一方の対角線の長さは\(\displaystyle \sqrt{2}\{1-a-a\}= \sqrt{2}(1-2a) \)

もうひし形の面積を求めることができますね。

ひし形の面積Sは

\begin{eqnarray} S=\frac{1}{2}・ \sqrt{2} ・\sqrt{2}(1-2a) ・ &=& 1-2a \end{eqnarray}

答え: \(\displaystyle 1-2a\)

(2)

砂時計の上の部分の体積と下の部分の体積は等しいので、下の部分の体積 \(\displaystyle (0≦a≦\frac{1}{2})\)を求めて二倍してやればいいですね。

下の部分の体積は、Sを \(\displaystyle 0から\frac{1}{2}\) で積分してやれば求まりますね。

\begin{eqnarray} V&=&2\int_{0}^{\frac{1}{2}} Sda \\ &=& 2\int_{0}^{\frac{1}{2}} (1-2a)da \\ &=& \left[a-a^2\right]^{\frac{1}{2}}_0 \\ &=& \frac{1}{2} \end{eqnarray}

答え:\(\displaystyle \frac{1}{2}\)

大問4

岡山大学理系数学2020大問4

(1)

岡山大学理系数学2020大問4

\(\displaystyle P(p,q)\)とおきます。 \(\displaystyle p,q\) は \(\displaystyle p^2-4q^2=-4\Longleftrightarrow q^2=\frac{1}{4}p^2+1\)を満たします。

\(\displaystyle AP^2\)を表してみましょう。

\begin{eqnarray} AP^2&=&(a-p)^2+q^2\\&=&a^2-2ap+p^2+ \frac{1}{4}p^2+1 \\&=&\frac{5}{4}p^2-2ap+a^2+1\end{eqnarray}

\(\displaystyle AP^2\)の最小値を考えればいいわけですが、どうやって出しましょうか? \(\displaystyle a\)は定数なので、平方完成すればよさそうですね。

\begin{eqnarray} AP^2&=& \frac{5}{4}p^2-2ap +a^2+1\\&=&\frac{5}{4}\left(p-\frac{4}{5}a\right)^2+\frac{1}{5}a^2+1 \end{eqnarray}

\(\displaystyle AP^2\)の最小値は \(\displaystyle p=\frac{4}{5}a\)の時 \(\displaystyle \frac{1}{5}a^2+1\) この時 \(\displaystyle q=±\sqrt{\frac{1}{4}・ \left(\frac{4}{5}a \right)^2+1}=±\sqrt{\frac{4}{25}a^2+1}\)

答え: \(\displaystyle AP\)の最小値は \(\displaystyle \sqrt{\frac{1}{5}a^2+1}\) で、この時\(\displaystyle P(\frac{4}{5}a , ±\sqrt{\frac{4}{25}a^2+1})\)

(2)

岡山大学理系数学2020大問4

(1)と何が違うかわかりますか?それは、pの値に範囲があることです。それ以外は(1)と同じなので、同じように解いていきましょう。

\(\displaystyle p^2-4q^2=4\)より、 \(\displaystyle q^2=\frac{1}{4}(p^2-4)≧0 \Longleftrightarrow p≦-2,2≦p\)

\begin{eqnarray} AP^2&=&(a-p)^2+q^2\\&=&a^2-2ap+p^2+ \frac{1}{4}(p^2-4) \\&=&\frac{5}{4}\left(p-\frac{4}{5}a\right)^2+\frac{1}{5}a^2-1\\\end{eqnarray}

二次関数の最小値の問題になりました。軸がどこにあるかで場合分けをしましょう。

(i)\(\displaystyle 0<\frac{4}{5}a≦2 \Longleftrightarrow 0< a≦\frac{5}{2}\)の時

\(\displaystyle p=2,q=0\)で最小値をとる。

 (イ)\(\displaystyle 0<a≦2\)の時、最小値 \( \displaystyle 2-a\) (グラフから考える)

 (ロ) \(\displaystyle \frac{5}{2}≦a≦2\) の時、最小値 \( \displaystyle a-2\) (グラフから考える)

\(\displaystyle \\\)

(ii) \(\displaystyle 2≦\frac{4}{5}a \Longleftrightarrow \frac{5}{2}≦a\)の時

\(\displaystyle p= \frac{4}{5}a\)で最小値\(\displaystyle \sqrt{\frac{1}{5}a^2-1} \)をとる。

この時、\(\displaystyle q^2=\frac{1}{5} \left(\frac{4}{5}a\right)^2 +1=\frac{4}{25}a^2+1 \)より、 \(\displaystyle q=±\sqrt{ \frac{4}{25}a^2+1 }\)

グラフから考えると書きましたが、それは

岡山大学理系数学2020大問4

最小値の取り方がグラフのように変わっていくからです。最初は緑の線、次に(2,0)を超えたらオレンジの線、最後に\(\displaystyle \frac{5}{2}≦a\)となったらピンクの線になっていきます。

計算で最小値を求めてもいいですが、こっちのほうが楽で正確なので、できればグラフを使ってうまく解きましょう。

答え:\(\displaystyle 0< a≦2\)の時 … \(\displaystyle P(2,0)\) で最小値 \(\displaystyle 2-a\)

   \(\displaystyle 2≦a≦\frac{5}{2}\)の時 … \(\displaystyle P(2,0)\) で最小値 \( \displaystyle a-2\)

   \(\displaystyle \frac{5}{2}≦a\) の時… \(\displaystyle P\left( \frac{4}{5}a , ±\sqrt{ \frac{4}{25}a^2+1 }\right )\) で最小値 \(\displaystyle \sqrt{\frac{1}{5}a^2-1} \)

(3)

岡山大学理系数学2020大問4

グラフを使って考えていきましょう。

C2上にのみPがある場合、(2,0)が最小値をとるときのPの位置になるのは、(2)の最後の考察から\(\displaystyle 0<a≦\frac{5}{2}\)の時ですね。

しかし、今空白にしている、緑線の左側はC1のほうが近そうです。

岡山大学理系数学2020大問4

なので、この緑の線について、\(\displaystyle a\)を動かしていった時いつC1からC2に切り替わるのかを考えればよさそうです。

最小値はC1の場合は(1)で \(\displaystyle \sqrt{\frac{1}{5}a^2+1}\) と求めていて 、C2の緑の線の場合は(2)で \(\displaystyle 2-a\) と求めているのでそれを使っていけばよさそうです。

\begin{eqnarray} &\sqrt{\frac{1}{5}a^2+1} =2-a \\&両辺正より二乗して\\ &\frac{1}{5}a^2+1 =a^2-4a+4\\ &4a^2 -20a+15=0\\&a=\frac{5±\sqrt{10}}{2}\\\\&a≦2より、a= \frac{5-\sqrt{10}}{2} \end{eqnarray}

\(\displaystyle a= \frac{5-\sqrt{10}}{2} \)で切り替わることがわかりました。

答え: \(\displaystyle \frac{5-\sqrt{10}}{2}≦a≦\frac{5}{2}\)

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