【数Ⅰ二次関数 】二次関数とは?グラフの書き方、平方完成のやり方を解説 

二次関数とは?グラフの書き方、平方完成のやり方 その他

\(\displaystyle f(x)\)とは?

 これから、「関数」というものが登場します。関数とは、簡単に言えば「ある値に対応して値が確定するもの」のことを言います。簡単に言えていないかもしれません(笑)。

 具体例を出してみましょう。 \(\displaystyle y=2x\)は、例えば \(\displaystyle x=1\)の時、\(\displaystyle y=2\)になります。このように、\(\displaystyle y\)は\(\displaystyle x\)と連動して \(\displaystyle y\)の値が一つに決まるので、 \(\displaystyle y\)は \(\displaystyle x\)の関数になっていると言えます。

 この時、 \(\displaystyle y=f(x)\)と表すことができます。fはfunction(関数)という意味です。そのままですね。

 最初は慣れないかもしれませんが、 \(\displaystyle f(x)\)という書き方にたくさん触れて慣れていきましょう。

二次関数とは?

 二次関数とは、

\begin{eqnarray} y=ax^2+bx+c (a≠0)\end{eqnarray}

の形であらわされる関数のことを言います。この二次関数はたくさんの重要な性質を持っているので一つ一つ見ていきましょう。

(\(\displaystyle a≠0\)としているのは、\(\displaystyle a=0\)だと \(\displaystyle x^2\)の部分がなくなってしまうので二次関数ではなくなるからです。)

二次関数のグラフの形

二次関数は放物線といって、ものを空中に投げた時の軌道のようなグラフを描きます。二次関数のグラフは、頭の\(\displaystyle a\)の値が正か負かによって大きく形が変わります。

【\(\displaystyle a>0\)のとき】

放物線

【\(\displaystyle a<0\)のとき】

放物線

\(\displaystyle a>0\) の時は下向きに飛び出ていて、 \(\displaystyle a<0\)の時は上向きに飛び出ていますね。

この、下向きに飛び出ていることを下に凸、上向きに出ていることを上に凸といいます。

二次関数のグラフの書き方

放物線

まず、前提として\(\displaystyle y=ax^2\)の形のグラフが書けるようになりましょう。適当に \(\displaystyle x=1,2,3\)の時の \(\displaystyle y\)の値を求めて、グラフ上にプロットしていきましょう。

放物線の書き方

そして、最後にy軸に対して対称になるように、なめらかに線をつないで出来上がりです。

放物線の書き方

慣れたらプロットなんてしなくてもグラフが書けるようになると思います。

二次関数のグラフの軸と頂点

二次関数のグラフをかく上で、

\(y=a(x-p)^2+q\)

の形がとっても重要になってきます。

\(\displaystyle y=2(x-3)^2+4\)を例にして、この式の意味するところを考えてみましょう。

まず、\(\displaystyle y=2x^2+4\) は \(\displaystyle y=2x^2\) の計算結果に \(\displaystyle +4\)されています。

これは、\(\displaystyle y=2x^2\)のグラフが上に4ずれる(平行移動する)ことを意味します。

放物線の書き方

次に、 \(\displaystyle y=2(x-3)^2+4\)はどうでしょうか?

これは、 \(\displaystyle y=2x^2+4\) に\(\displaystyle x=0,1,2\)を代入した時と \(\displaystyle y=2(x-3)^2+4\) に \(\displaystyle x=3,4,5\) を代入した時の値が同じ

になっていますね。

放物線の書き方

つまり、

0が3に

1が4に

2が5に

対応しています。これはつまり、 \(\displaystyle y=2x^2+4\) のグラフを右に3平行移動したものが \(\displaystyle y=2(x-3)^2+4\) になります。

まとめると、 \(\displaystyle y=2(x-3)^2+4\) は \(\displaystyle y=2x^2\) を右に3,上に4平行移動したグラフになります。

放物線の書き方

一般的に、

\(\displaystyle y=a(x-p)^2+q\) は、\(\displaystyle y=ax^2\) のグラフを

x軸方向に\(\displaystyle p\)、y軸方向に \(\displaystyle q\)平行移動したグラフ

になります。そして、 \(\displaystyle x=p\)のことを、 \(\displaystyle (p,q)\)のことを頂点といいます。

放物線の軸と頂点

一般的に、\(\displaystyle y=ax^2+bx+c\)は、頂点\(\displaystyle (-\frac{b}{2a},-\frac{b^2-4ac}{4a})\)、軸\(\displaystyle x= -\frac{b}{2a} \)となる。

平方完成

\(\displaystyle y=a(x-p)^2+q\) の形になっていればグラフが書けることがわかりました。

では、 \(\displaystyle y=2x^2+3x+4\)のグラフはどうやったら書けるでしょうか? \(\displaystyle y=2x^2+3x+4\) を無理やり \(\displaystyle y=a(x-p)^2+q\) の形にすればいいのです。その手順をご紹介します。

① \(x^2\)の係数でくくる

\[y=2x^2+3x+4=2(x^2+\frac{3}{2})+4\]

②\(〇^2\)の形に無理やり変形する。

\[2(x+\frac{3}{4})^2+4\]

このままではだめなのが分かりますか? \(\displaystyle 2(x+\frac{3}{4})^2+4=2x^2+3x+ \frac{9}{8}+4 \)となり、 \(\displaystyle \frac{9}{8}\) の部分が余計ですね。なのでこの項を引いてやる必要があります。

\begin{eqnarray}y&=&2(x^2+\frac{3}{2}+4) \\&=& 2(x+\frac{3}{4})^2 -\frac{9}{8} +4\\ &=& 2(x+\frac{3}{4})^2 +\frac{23}{8}\end{eqnarray}

\(\displaystyle +\frac{3}{4}\)は \(\displaystyle -\left(-\frac{3}{4}\right)\) と読み替えてやればいいだけなので、これで頂点 \(\displaystyle (-\frac{3}{4},\frac{23}{8})\) 、軸 \(\displaystyle x= -\frac{3}{4} \)と分かりましたね。

\(\displaystyle x^2\)の係数は \(\displaystyle 2>0\)だから下に凸のグラフを書けばいいことが分かります。

放物線

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