【動くグラフ付き】分かりやすい二次関数の最大値、最小値の求め方

二次関数の最大値、最小値 その他

範囲のない場合の最大値、最小値

\(\displaystyle y=ax^2\)のグラフの最大値、最小値

まず、\(\displaystyle x\)に範囲がない場合の最大値、最小値について考えます。

\(\displaystyle y=x^2\)という関数の最大値、最小値にについて考えてみましょう。

最小値はすぐにわかりますね。\(\displaystyle x=0\)、つまり頂点で最小値\(\displaystyle y=0\)を取ります。

最大値はどうなるでしょうか?

今さっきのグラフを縮小させて表示させています。このように、グラフは上に向かって果てしなく伸びていくので、最大値は定義できません。したがって、「最大値なし」となります。

今度は、\(\displaystyle y=-x^2\)について考えてみましょう。

最大値は見ればすぐにわかりますね。\(\displaystyle x=0\)の時最大値\(\displaystyle y=0\)を取ります。

最小値はどうなるでしょうか?こちらも前回と同様、下に向かって果てしなくグラフが続くため、最小値は定義できませんね。したがって、最小値なし。

こんな具合に、\(\displaystyle x\)の値に範囲がない場合、頂点が最大値や最小値を考える上で重要になってきます。

平方完成をして最大値、最小値を求める。

次に、\(\displaystyle y=x^2-2x+2\)の最小値を求めてみましょう。どうすればいいですかね?

先ほど頂点が重要といいました。頂点を求めるには平方完成すればいいのでしたね。

平方完成のやり方については↓からご覧いただけます。

【数Ⅰ二次関数 】二次関数とは?グラフの書き方、平方完成のやり方を解説 

\(\displaystyle y=x^2-2x+2=(x-1)^2+1\)より、頂点\(\displaystyle (1,1)\)の下に凸のグラフになりますね。

\(\displaystyle x=1\)の時最小値\(\displaystyle 1\)を取ります。

このように、平方完成して頂点を求めれば、グラフを書いて最大値最小値を求めることができます。

\(\displaystyle x\)に範囲のある場合の最大値、最小値

範囲が固定されている場合

もし、前の\(\displaystyle y=x^2-2x+2\)に\(\displaystyle (-1≦x≦2)\)という条件が設けられていたらどうなるでしょうか?

グラフを書けばよく分かりますね。

\(\displaystyle x=1\)で最小値\(\displaystyle 0\)

\(\displaystyle x=-1\)で最小値\(\displaystyle 5\)

となります。このように、二次関数の問題を解くときはグラフを書くことがとても大切です。

範囲が動く場合

\(\displaystyle a≦x≦a+2\)の最大値、最小値を考えてみましょう。

\(\displaystyle a\)の値を動かしていくにつれて、最大値、最小値をとる場所が変わっていますね。

範囲が動く場合の最大値、最小値を考える場合は範囲の端っこと、軸と範囲の真ん中の関係が重要になってきます。

範囲内に軸が入っている場合は頂点\(\displaystyle (1,1)\)で最小値、入っていない場合は\(\displaystyle x=a\)もしくは\(\displaystyle x=a+2\)で最小値をとります。

最大値は、範囲の真ん中、すなわち\(\displaystyle \frac{a+a+2}{2}=a+1\)が軸よりも左側にあるとき\(\displaystyle x=a\)で最大値、右側にあるときは\(\displaystyle x=a+2\)で最大値を取ります。

軸が動く場合の最大値、最小値

軸が動く場合の最大値、最小値の求め方も範囲が動く場合と同じです。

\(\displaystyle y=x^2-2ax+a^2+1\)という関数について考えてみましょう。平方完成すると、\(\displaystyle y=(x-a)^2+1\)になるので、軸\(\displaystyle x=a\)、頂点\(\displaystyle (a,1)\)ですね。

最小値について、軸が範囲内にある場合は頂点\(\displaystyle (a,1)\)で最小値、範囲外の時は\(\displaystyle x=-1\)または\(\displaystyle x=2\)で最小値を取ります。

最大値については、軸が範囲の真ん中(\(\displaystyle x=\frac{1}{2}\))より左側にある場合は\(\displaystyle x=2\)で、右側にある場合は\(\displaystyle x=-1\)で最大値をとります。

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